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# 疑问记录

## 量子门与量子比特

### CR 门是什么？和 CZ 门的区别？

首先 CR 和 CZ 都是双比特门，**CZ 只是 CR 门在 $\theta=\pi$ 时的特例，CR 门更普遍**，叫做 Cross-Resonance Gate（交叉共振门）。

假设有两个超导量子比特：**控制比特（Control, $Q_C$）** 和 **靶比特（Target, $Q_T$）**。如果我们用 $Q_T$ 的共振频率去驱动 $Q_T$，它自己会翻转。然而 **CR 操作** 是把微波脉冲的频率设为 $Q_T$ 的共振频率，但 **把这个微波打在 $Q_C$ 上**。因为两个比特之间有微弱的物理耦合，$Q_T$ 是否翻转取决于 $Q_C$ 处于什么状态：如果 $Q_C=|0\rangle$，$Q_T$ 会以速度 $+g$ 顺时针旋转；如果 $Q_C=|1\rangle$，$Q_T$ 会以速度 $-g$ 逆时针旋转。

CR 门在哈密顿量上引入了一个核心的相互作用项：**$Z_C X_T$**，即控制比特的 $Z$ 状态（$|0\rangle$ 或 $|1\rangle$）决定了靶比特沿着 $X$ 轴旋转的方向。通过精确控制微波脉冲的时间，让它刚好旋转 $90^\circ$（即 $\pi/2$），就实现了一个标准的 CR 门。通过在这个门前后加上简单的单比特门，就可以极其高效地组合出我们熟知的 **CNOT 门**。

**CR 门与 CZ 门的区别**：**CR 门是一种 "物理实现方式"（原生门），而 CZ 门是一个 "逻辑功能"（理想门/矩阵）**。不过在超导量子计算中，人们也经常把 "利用频率可调比特实现的 CZ 门" 简称为 CZ 门。

CR 门（Cross-Resonance）矩阵为 $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\theta & -i\sin\theta & 0 \\ 0 & -i\sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$（常取 $\theta=\frac{\pi}{4}$）；CZ 门（Controlled-Phase）矩阵为 $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$。

### 交流两比特门是什么？

应用在频率固定不变的量子比特上。比特的频率在出厂后就是固定死的，无法通过 z 改变。如果想让两个频率不同的比特产生纠缠，科学家会通过共同的耦合器，向其中一个比特发射一个特定频率的交流微波脉冲（AC/Microwave Pulse）。这个微波的频率往往直接等于目标比特（Target Qubit）的固有频率 $\omega_t$。通过这个交流微波作为媒介，两个比特会产生 "交叉共鸣"（Cross Resonance），从而实现状态的交换或相位调制，比如交叉共振门（CR 门）。

举个例子：控制比特（Control, 记为 $Q_C$）的固有频率是 $\omega_C$；目标比特（Target, 记为 $Q_T$）的固有频率是 $\omega_T$。因为它们离得很近，彼此之间存在微弱的、天然的色散耦合（Dispersion Coupling）。对着控制比特 $Q_C$ 照射一束微波，把微波的频率完美调节到目标比特的频率 $\omega_T$ 上。对 $Q_C$ 来说，这束微波的频率跟自己完全不匹配，所以它不会被直接激发；但因为 $Q_C$ 和 $Q_T$ 之间有耦合，这束微波会通过 $Q_C$ 作为 "跳板" 或 "放大器"，把能量传导给 $Q_T$。由于这束微波的频率刚好等于 $Q_T$ 的固有频率，**$Q_T$ 就会发生共振，开始疯狂旋转（拉比振荡）**。

$Q_T$ 旋转的速度完全取决于控制比特 $Q_C$ 此时处于什么状态：如果 $Q_C$ 是 $|0\rangle$ 状态，$Q_T$ 会以速度 $V_0$ 顺时针旋转；如果 $Q_C$ 是 $|1\rangle$ 状态，$Q_T$ 会以速度 $V_1$ 逆时针（或以截然不同的速度）旋转。**拿控制比特当跳板旋转受控比特**。速度慢、串扰多，但是寿命长、布线简单。打的是 XY 线的脉冲包络，所以目标比特是绕 $X-Y$ 平面内的某个轴旋转，但是正向转还是反向转由控制比特的 $Z$ 状态决定。

### CZ 门是交流双比特还是直流双比特门？

CZ 门既可以是直流双比特门，也可以是交流双比特门。

- **直流方式** 需要频率可调：两个比特平时频率错开，要做 CZ 门时，控制端打入一个直流磁通脉冲（DC Flux Pulse），迅速把控制比特的频率拉到与目标比特非常接近的一个特殊共振点（称为 $|11\rangle$ 与 $|20\rangle$ 或 $|02\rangle$ 能级相交的避免交叉点）。在这个位置上，两者的电容耦合会瞬间激发一个短暂的物理相互作用，自动在 $|11\rangle$ 状态上积累一个 $\pi$ 的相位（也就是负号）。整个过程只需要十几纳秒，速度极快。
- **交流方式** 不改变比特的物理频率，而是直接使用前面提到的交叉共振（CR）机制：控制比特决定目标比特绕 $X$ 轴转，但只要在执行 CR 门（交流脉冲）的同时配合目标比特自身的单比特旋转，就能在纯微波驱动下把 $ZX$ 相互作用转换成标准的 CZ 门。

在造量子芯片时，国际巨头们分成了两大派系，这也决定了他们用 CR 门还是 CZ 门作为底座：

- **派系 A：IBM 路线（固定频率 + CR 门）**。IBM 认为可调频率比特太难伺候了，芯片线路上多加一根调频的控制线，就会多引入一份噪声，所以把比特频率固定死，用极其干净的微波去驱动，靠 **CR 门** 做双比特操作。虽然 CR 门速度相对慢一点（通常一两百纳秒），但比特的寿命（$T_1$）可以做得比较高。
- **派系 B：Google / 浙大路线（可调频率 + CZ 门）**。谷歌等团队认为，平时不用双比特门时应该把两个比特的频率拉得远远的、互不干扰；要用的时候通过电流脉冲把它们频率拉近，发生 "碰撞" 擦出火花产生 **CZ 门**。这种门速度极快（几十纳秒），但缺点是可调频率比特容易受到通量噪声的影响，工艺极其复杂。

### CZ 门和 CNOT 门的区别与联系？

$$\text{CZ} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$$
$$\text{CNOT} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$$

**区别**：CZ 完美对称，谁是控制位、谁是目标位根本没有区别——"当比特 1 为 1 时，比特 2 绕 Z 轴转 180°" 和 "当比特 2 为 1 时，比特 1 绕 Z 轴转 180°" 没区别。$CNOT$ 门则是有明确分工的：一个是高高在上的 "控制位"，另一个是被动改变的 "目标位"。

**联系**：可以加 H 门互换。把 CZ 变成 CNOT：你只需要在 CZ 门的任意一端，给其中一个比特的前后各加一个 $H$ 门，它就变成了 $CNOT$ 门；把 CNOT 变成 CZ：同样，在 $CNOT$ 门的目标比特前后各加一个 $H$ 门，它就回到了 CZ 门。因为如果把 $H$ 门加在 $X$ 门的两边（即 $H\cdot X\cdot H$），它就会变成 $Z$ 门；反过来，如果把 $H$ 门加在 $Z$ 门的两边（即 $H\cdot Z\cdot H$），它就会变成 $X$ 门。

### 超导量子的表征实验有哪些，保真度怎么测？

**RB（Randomized Benchmarking，随机基准测试）** 用于测量单比特门或双比特门的平均误差，也就是单/双比特门保真度。

计算机随机生成一段由克利福德门（Clifford Group，一类常用的量子门集合）组成的量子线路，在这串随机线路的最后一步计算出一个 "逆操作（反向门）"。这个逆操作的作用是：如果前面的所有量子门都是 100% 完美的，那么加上这个逆操作后，量子比特应该百分之百回到最初的状态（比如 $|0\rangle$）。随着随机线路的长度（量子门的个数）越来越长，由于芯片不完美，最后回到 $|0\rangle$ 的概率会像指数一样衰减（专业术语叫 Clifford Decay）。科学家会测试不同长度（比如包含 10 个、50 个、100 个门）的随机线路，画出一条指数衰减曲线。通过拟合这条曲线的衰减率，就可以完美剥离掉最后测量时引入的噪声，精准计算出平均每个量子门的保真度：

$$P_{\text{surv}}(m) = A \cdot p^m + B$$

拟合出的参数 $p$ 反映了每多加一个门带来的衰减，得到平均单个门的保真度。**双比特门 RB** 的原理完全一样，只是随机序列中加入了两比特门（如 CNOT 或 CZ），其衰减速度通常比单比特快很多，从而能精准扣除单比特门的影响，算纯粹的双比特门保真度。

**简单点就是**：将量子比特初始化在 $|0\rangle$ 态；连续施加 $m$ 个随机选择的 Clifford 门，此时量子态已经被 "搅浑" 了；紧接着施加刚刚计算出来的第 $m+1$ 个门——$C_{inverse}$；测量量子比特是否回到了 $|0\rangle$ 态。Clifford 不是乱选的：如果你把任意两个 Clifford 群里的门组合在一起（连续执行），它们的功效等同于群里的另一个单一 Clifford 门，而且它必然存在一个唯一的逆元，也在群里。

**XEB（Cross-Entropy Benchmarking，交叉熵基准测试）**

XEB 是由谷歌（Google）团队在证明 "量子优越性"（悬铃木芯片）时发扬光大的。在芯片上选择多个量子比特，让他们同时执行一串完全随机的量子门，这会导致量子态在整个希尔伯特空间中疯狂纠缠、无序扩散，最终形成一个极其复杂的 "量子混沌态"。

- 在传统的超级计算机上，用暴力计算去模拟这套完全一模一样的随机线路，算出在理论完美状态下最后测量时每一种状态（比如 $|0010\rangle, |1101\rangle \dots$）应该出现的理论概率分布；
- 在真实的超导量子芯片上把这个线路运行成千上万次，收集实际采样的实际数据分布；
- 利用统计学中的 "交叉熵（Cross-Entropy）" 来对比这两组数据。

交叉熵又是什么呢？理想分布（$P$）：传统超级计算机在绝对完美、无噪声的情况下算出的每一个量子态出现的理论概率；现实分布（$Q$）：真实的超导量子芯片运行成千上万次后统计出来的每一个量子态出现的实际频次。

- 如果芯片完全没有噪声，它算出来的现实分布 $Q$ 就会和超算算出的理想分布 $P$ 一模一样，把它们带入交叉熵公式，算出的是一个极小值，这个极小值在物理学上有一个特殊的名字叫香农熵（Shannon Entropy），意味着真实芯片完美还原了量子干涉的 "波斑指纹"；
- 如果芯片一运行就退相干，所有的量子干涉全部消失，最后测量时它就是在投一万次均匀的骰子，此时把这个 "完全均匀的分布 $Q$" 和超算算出的 "混沌指纹分布 $P$" 带入公式，算出来的交叉熵会是一个极大值。

XEB 越高越接近 1 越好。2019 年谷歌 53 个可用量子比特的 "悬铃木"（Sycamore）超导芯片，在执行了多层极其复杂的随机量子线路后，测得的最终系统 XEB 保真度约为 $F_{\text{XEB}} \approx 0.22\%$（约 0.0022）。到了 2023 年，谷歌推出了第二代包含 70 个量子比特的新型芯片，在更难的线路上测得的系统 XEB 保真度约为 $F_{\text{XEB}} \approx 0.1\%$（约 0.001）。看起来反而退步了，但 2023 年做了一场难度高出成千上万倍的实验：53 个比特的空间大小是 $2^{53} \approx 9\times10^{15}$，70 个比特的空间大小是 $2^{70} \approx 1.18\times10^{21}$。全球最顶尖的超级计算机即便不吃不喝算上几万年，也无法模拟出这 0.1% 的量子指纹。

具体计算过程是：如果一个单比特门准确率是 99.9%、双比特门准确率是 99.4%、测量准确率是 97%，当你把 53 个比特联动起来做上千次门操作时，系统总保真度就是把这些点几几的数字全部乘在一起：

$$0.999^{N_1} \times 0.994^{N_2} \times 0.97^{53} \approx 0.22\%$$

在谷歌 2019 年的那场实验中，为了让传统超级计算机彻底算不动，他们把线路设计得非常深：双比特门数量（$N_2$）大约执行了 430 次，单比特门数量（$N_1$）大约执行了 1113 次。

"如果传统超级计算机要算好几万年，那谷歌在 2023 年做实验的时候，拿什么去对答案呢？没有标准答案，怎么能算出 XEB 是 0.1% 呢？" 他们故意设计了两种 **超算能算、但量子芯片同样觉得很难** 的特殊随机线路，然后证明了终极难题也是一样的。

### JPA 和 HEMT 的区别？

JPA（Josephson Parametric Amplifier，约瑟夫森参数放大器）是超导量子计算读取电路中的第一级放大器（也叫前置放大器），直接安装在稀释制冷机最底部的极低温工作区（约 10 mK，约 $-273.14^\circ$ C）。JPA 的核心是不消耗能量的超导器件——约瑟夫森结。科学家会向 JPA 输入一束强烈的、特定频率的微波（称为泵浦光 Pump）。当微弱的量子信号（Signal）进入 JPA 时，非线性电感会利用泵浦光的能量对量子信号进行调制和放大。因为 JPA 处于超导状态，本身不产生任何热噪声，它在放大信号时引入的额外噪声达到了量子力学海森堡不确定性原理允许的绝对物理下限。

HEMT（High Electron Mobility Transistor，高电子迁移率晶体管放大器）是读取电路中的第二级放大器，通常安装在制冷机的 4 K 温区（约 $-269^\circ$ C）。JPA 虽然噪声极低，但它有一个致命弱点：动态范围很小，且增益有限。而 HEMT 是一种特殊的场效应晶体管（通常由砷化镓 GaAs 或磷化铟 InP 材料制成），它利用异质结界面形成的一层极薄的、移动速度极快的二维电子气（2DEG）来导电。在 4 K 的低温下，这些电子几乎不会受到原子晶格振动的散射，运动速度（迁移率）高得离谱。高电子迁移率使得 HEMT 可以在消耗极低电功率（减少发热，不至于破坏制冷机低温）的同时，提供极宽的频带和非常大的功率放大倍数（通常大于 30 dB）。

### 实际在量子芯片上的门操作是怎么样的？

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我们挑出拓扑图上的 Q060 作为控制比特，挑出与之相邻的 Q068 作为目标比特。刚开机时比特可能处于杂乱的状态，科学家会静置一段时间让它们自发冷却到绝对零度附近的基态 $|0\rangle$。

现在我们要让 Q068 进入叠加态：在其 XY 控制线上打一个 $X_{\pi/2}$ 门脉冲，这束微波顺着同轴电缆插进稀释制冷机，照射到 Q068 上。Q068 的超导电路吸收了微波能量，发生 "拉比振荡"。通过精准控制微波的相位（决定绕 X 轴还是 Y 轴转）和波形面积/时间（决定转多少度，$\pi/2$ 就是转 $90^\circ$），Q068 就乖乖地从 $|0\rangle$ 状态旋转到了叠加态。微波虽然进入了芯片，但因为频率与旁边的 Q060（比如频率是 4.8 GHz）完全不匹配，Q060 充耳不闻，保持静止。现在，Q060 是 $|0\rangle$，Q068 是叠加态。

**直流双比特门的话**：我们要执行核心的 CNOT 门（双比特门），这就必须动用拓扑图上连接它们的蓝色线条（可调耦合器）。科学家通过专门的 Z 控制线（直流磁通线），向 Q060 和 Q068 中间的可调耦合器打入一个特定的直流方波。这个直流偏置会瞬间改变耦合器的物理能级，原本关闭的通道被 "强行打开"，Q060 和 Q068 之间的虚拟光子开始疯狂交换。因为通道打开，两者的能量发生交融，Q060 的状态（是 0 还是 1）会直接作为边界条件，物理性地影响 Q068 积累相位的速度。通过精确计算直流脉冲维持的时间（比如 30 ns），当两者的相位差刚好碰撞出 $\pi$（负号）时，撤走直流偏置、关闸，CZ 门在物理上宣告完成。要变成 CNOT 门，再打一个微波绕 X 轴转 90° 就是了。

**交流双比特门**：它们中间的蓝线是个死电容，关不上。科学家不用 Z 线直流电，而是直接通过 Q060 的微波线打入一束频率属于 Q068（$\omega_{68}$）的交流微波脉冲。Q060 自己不吸收，但把能量传给了 Q068，Q068 开始旋转，且旋转方向完全受 Q060 的状态控制，这个就是 CR 门。实际变成 CZ 还要再打一个微波。

**读取阶段**：科学家向芯片的测量谐振腔（Readout Resonator）打入一束连续的微波，这束微波穿过 Q060 和 Q068 附近的结构。根据量子力学的色散读取原理，比特处于 $|0\rangle$ 还是 $|1\rangle$ 会导致测量腔的谐振频率发生极其微小的偏移。带有频率偏移的反射微波（这就是最终的输出信号）被弹回来，依次经过 JPA（极低温无噪放大）和 HEMT（4K 大功率放大），一路狂飙传输到室温环境的采集卡上。采集卡通过解析微波的相位和振幅，在屏幕上吐出最终的数据。

**那为什么还要造那么多比特？** 既然两个比特就能把单比特门（如 $X$ 门）和双比特门（如 $CNOT$ 门）全部演练一遍，为什么科学家们还要费尽心机在芯片上造 53 个、70 个甚至上百个比特呢？因为在实际运行复杂的量子算法时，不可能所有的计算都只在两个比特之间发生：复杂的算法需要 $Q_1$ 和 $Q_2$ 做 CNOT 的同时，$Q_3$ 和 $Q_4$ 也在做哈达玛门，$Q_5$ 和 $Q_6$ 在做 CZ 门，这就需要芯片有足够宽广的 "战场面积"。由于近邻耦合限制，远距离的比特互动需要大量中间的比特充当 "木板"，通过连续的 SWAP 门把数据传过去，存在 "数据网络" 和 "路由传输" 的概念。而且目前的物理比特太脆弱了，内禀误码率很高（比如双比特门只有 99.4% 的准确率），这种芯片只要连续做上千次操作，信号就会彻底变成噪声（总保真度跌到零点几）。为了解决这个问题，科学家必须引入量子纠错码（Quantum Error Correction）：每一个真实存在的硬件格子（比如图中的 Q060），通过量子纠错算法把几十个甚至上千个物理比特 "绑在一起"，利用它们之间的纠缠来互相监督、检查错误。最终，这上千个物理比特在软件层面上会融合成一个完美无瑕、绝不出错的 "逻辑比特"。

### 退相干时间怎么测量？T2、T1、$T_\varphi$ 之间的区别？

保真度是用 RB 实验测的，而退相干时间要用寿命测试和 Ramsey 实验。

**纵向弛豫时间 $T_1$**（也叫能量弛豫时间 $T_1$）衡量的是量子比特从高能态（激发态 $|1\rangle$）自发跌落回低能态（基态 $|0\rangle$）的平均时间，实验叫做寿命测试：施加一个 $\pi$ 脉冲（相当于 X 门），把比特百分之百推到激发态 $|1\rangle$；等待一段变长的时间 $\tau$，测量比特的状态。随着等待时间 $\tau$ 变长，读出 $|1\rangle$ 的概率会呈指数衰减 $e^{-\tau/T_1}$。拟合这个衰减曲线，衰减到 $1/e$（约 37%）处的时间就是 $T_1$。

**去相位时间 $T_2^*$**（Ramsey 实验）衡量的是量子比特在叠加态时，受环境噪声影响导致相位信息丢失的速度（纯去相位）：施加一个 $\pi/2$ 脉冲，把比特推到赤道面上的叠加态 $\frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt{2}}$；让比特在环境中自由演化（Free Induction Decay）时间 $\tau$，在此期间如果环境有磁场波动，叠加态的相位就会开始 "乱飘"；故意让微波频率与比特频率有一点点偏差（失谐），让比特绕 $Z$ 轴旋转，这样图像就是震荡衰减、更好看；再施加第二个 $\pi/2$ 脉冲然后测量，测量结果会呈现出类似波浪的震荡衰减信号（称为 **Ramsey 边缘震荡**），其包络线的指数衰减速度就是 $T_2^*$。

**回音去相位时间 $T_2$**（Hahn Echo 实验）：由于 $T_2^*$ 包含了环境中那些 "缓慢变化的低频噪声"，实验物理学家想了一个办法把这部分人为误差消掉，测出真实的退相干极限，这就叫自旋回音（Spin Echo）。同样先用一个 $\pi/2$ 脉冲把比特推到叠加态；等待时间 $\tau/2$，此时由于噪声，不同成分的相位像长跑运动员一样散开了；**关键点**：在正中间插一个 $\pi$ 脉冲，开始对称抵消；再等待 $\tau/2$，抵消低频；施加最后的 $\pi/2$ 脉冲并测量。这种方法就像回音一样，把慢速的低频环境噪声抵消掉了。这样测出来的 $T_2$ 时间（回音寿命）通常会显著长于 $T_2^*$，它代表了更加本质的量子相干寿命。

$T_2$（总的去相位时间）是一个 "综合结果"，而 $T_\varphi$（纯去相位时间）是导致这个结果的 "其中一个独立因素"：

$$\frac{1}{T_2} = \frac{1}{2T_1} + \frac{1}{T_\varphi}$$

- **$T_1$（纵向弛豫时间 / 能量弛豫）**：代表比特能量丢失到环境中的速度（比如从激发态 $|1\rangle$ 跌落到基态 $|0\rangle$）；
- **$T_\varphi$（纯去相位时间 / Pure Phasing）**：代表比特没有丢失能量但相位乱了。比如比特一直保持在叠加态 $\frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt{2}}$ 没变，但是由于环境磁场杂噪，$|0\rangle$ 和 $|1\rangle$ 之间的相对相位（那个 $\pm$ 号）像喝醉酒一样瞎晃荡；
- **$T_2$（横向去相位时间 / 总去相位）**：是最终观测到的叠加态总寿命。由于 $T_2$ 衡量的是 "叠加态能维持多久"，只要叠加态被破坏了，$T_2$ 过程就结束了：能量没丢但相位模糊了，这个速度是 $\frac{1}{T_\varphi}$；比特直接从 $|1\rangle$ 掉回了 $|0\rangle$（发生 $T_1$ 过程），既然高能态 $|1\rangle$ 都没了，叠加态自然也就不复存在了，也就是说 $T_1$ 过程会强行终止 $T_2$ 过程。

那为什么公式里是 $\frac{1}{2T_1}$ 而不是 $\frac{1}{T_1}$ 呢？因为 $T_1$ 影响的是振幅（Wavefunction amplitude），而量子测量测的是概率（Amplitude 的平方）。在量子力学推导中，振幅衰减和概率衰减有一个根号关系，转换到速率上，就导致能量弛豫对相位衰减的贡献只有一半，即 $\frac{1}{2T_1}$。

- 如果芯片的纯去相位保护做得完美无瑕，此时公式变为 $\frac{1}{T_2}=\frac{1}{2T_1}$，即 $T_2 = 2T_1$。无论你的材料多么完美，只要有 $T_1$ 能量耗散存在，$T_2$ 绝不可能超过 $2T_1$；
- 如果环境噪声极大、相位极其不稳定（$T_\varphi$ 非常小），此时 $\frac{1}{T_\varphi}$ 远远大于 $\frac{1}{2T_1}$，那么公式中 $T_1$ 的影响就可以忽略不计，此时 $T_2 \approx T_\varphi$。你在实验室里测出来的 $T_2$，其实绝大部分都是由低频噪声引起的纯去相位。

在实验上，我们能直接通过脉冲序列测出来的是 $T_1$（用弛豫实验）和 $T_2$（用 Hahn Echo 回音实验），而 **$T_\varphi$ 是无法直接测量的**。实验物理学家通常是先测出 $T_1$ 和 $T_2$，然后把数据代入上述公式，反算出 $T_\varphi = \left( \frac{1}{T_2} - \frac{1}{2T_1} \right)^{-1}$，以此来评估芯片面临的纯相位噪声有多严重。

### 旋转坐标系下，XY 微波频率和量子本身频率的微妙联系？

在现实中，量子比特的固有频率 $\omega_q$ 非常高（比如 5 GHz），这意味着在实验室的静止视角下，比特的 Bloch 矢量在赤道面上每秒钟要疯狂旋转 50 亿圈！如果我们就这么看着它，所有的物理细节（比如微小的噪声、几 MHz 的失谐）都会被这 50 亿圈的狂暴旋转彻底淹没。为了看清细节，让我们的眼睛（坐标系）也跟着以微波的频率 $\omega_{\mu w}$ 旋转。

在量子力学里，量子比特的能量差决定了它绕 $Z$ 轴旋转的速度。当你的坐标系以微波频率 $\omega_{\mu w}$ 旋转时，根据相对运动原理，相当于给整个系统施加了一个反向的 "虚拟旋转力"，这会给系统的哈密顿量减去一个正比于 $\omega_{\mu w}$ 的能量。原本比特的能量（由固有频率 $\omega_q$ 决定）是绕 $Z$ 轴转动的源泉，现在减去了微波的频率，剩下的有效能量就变成了：

$$\Delta = \omega_q - \omega_{\mu w}$$

在量子力学中，只要 $Z$ 方向上有能量差 $\Delta$，状态就会绕着 $Z$ 轴旋转，它的角速度刚好就是这个失谐量 $\Delta$。在 Bloch 球上，赤道面的平面运动就是由 $Z$ 轴的能量决定的：比特正处于一个微弱的、由 "系统能量差 $\Delta$" 产生的虚拟磁场中，并绕着 $Z$ 轴以频率 $\Delta$ 进行拉莫尔进动。

去看 Ramsey 实验，逻辑就闭环了：第一个 $\pi/2$ 脉冲强制把比特在旋转坐标系里拉到了赤道面；微波关了自由演化 $\tau$，但你的 "摄像机"（参考时钟）还在按 $\omega_{\mu w}$ 算时间，因为存在速度差 $\Delta$，比特在你的镜头里就开始以 $\Delta$ 的频率绕 $Z$ 轴在赤道面上 "转圈圈"；第二个 $\pi/2$ 脉冲，你的摄像机作为基准在固定的方向（比如 $X$ 轴）施加脉冲，因为比特自己绕 $Z$ 轴转到了不同的角度，它被推向北极还是南极，就完全取决于它在赤道面上绕 $Z$ 轴转了多少度。所以，**失谐量就是旋转坐标系里的 "微观时钟差"**，它在 Bloch 球上的具象化表现，就是比特绕 $Z$ 轴的旋转频率。

### 双比特门纠缠到底是个什么东西？

在传统计算机里，双比特门（比如异或门 XOR）是单向的、有因果关系的逻辑："如果 A 是 1，那么把 B 翻转。" 在这里，A 是绝对的主宰，B 是被动的受害者，A 怎么变完全不需要看 B 的脸色。但在量子世界里，双比特门（如 CZ 或 CR）一旦开启，因果关系就模糊了，两个比特变成了 "互为因果"。

以 CZ（受控相位）门为例：它的逻辑看似是 "如果控制比特是 $|1\rangle$，就给靶比特加一个负号（$\pi$ 相位）"。但在量子力学中，这个负号是加在两个比特共同组成的整体状态（也就是 $|11\rangle$）上的。你分不清到底是 A 控制了 B，还是 B 控制了 A：它们在向对方施加影响的同时，自己也被对方改变了。这种 "你中有我、我中有你" 的物理状态，就是纠缠。

在真实的超导芯片上，纠缠不是凭空产生的，它依赖于物理实体的 "能量勾连"：

- **CZ 门里的 "能量排挤"（能级排斥）**：想象两个量子比特 A 和 B，如果把它们单独放在各自的房间里，它们相安无事。实验物理学家在制造芯片时会在 A 和 B 之间用一根微纳导线（电容）把它们连在一起。当 A 处于 $|1\rangle$ 且 B 也处于 $|1\rangle$ 时（即 $|11\rangle$ 状态），由于电容的物理耦合，这两个高能量的状态会产生库仑排斥或者量子相干重组，在物理上导致它们的能级发生移动（Avoided Crossing 避免交叉）。由于能量发生了微小的改变，系统演化一段时间后，就会在 $|11\rangle$ 状态上积累出一个额外的物理相位（那个关键的负号）。你原本只是想把两个处于叠加态的比特拼在一起，但因为这部分物理能量的 "强行干预"，它们各自独立的波函数被 "焊接" 在了一起，再也打不开了。
- **CR 门里的能量跳板**：实验员用微波去轰炸 A 比特，但微波的频率调成 B 比特的频率。因为 A 和 B 之间有物理连线，A 就会变成一个 "中转站"。A 如果在 $|0\rangle$，它传递过去的微波让 B 顺时针转；A 如果在 $|1\rangle$，它传递过去的微波让 B 逆时针转。当 B 开始根据 A 的状态 "既顺时针又逆时针" 旋转时（因为 A 自身也是叠加态），两者的命运就彻底绑定了。B 旋转的每一幅画面，都深深地刻上了 A 当时状态的烙印。

在双比特门作用之前，两个比特的波函数是 "可因式分解" 的 $(\text{比特A的状态}) \times (\text{比特B的状态})$。这意味着你对 A 做任何观测，绝对不会影响 B；A 的寿命快到了（$T_1$ 弛豫），B 还在高高兴兴地运行。但在双比特门（比如一个 CNOT 门）作用之后，它们的波函数被强行融合成了一个不可拆分的整体（比如贝尔态）：

$$\frac{|00\rangle + |11\rangle}{\sqrt{2}}$$

这个时候，"比特 A" 和 "比特 B" 这两个独立的概念在物理上已经消失了，宇宙中只存在一个名字叫作 "AB 复合体" 的东西。此时，如果环境噪声对比特 A 扇了一巴掌（导致 A 发生了纯去相位 $T_\varphi$），比特 B 的相位也会瞬间溃散。双比特门在让我们获得量子并行计算能力的同时，也把两者的脆弱性捆绑在了一起。这就是为什么双比特门的保真度（通常在 99% 到 99.9% 之间）远远低于单比特门（通常能做到 99.99%）的物理硬伤所在。

**双比特门纠缠**，在硬件上就是利用电容耦合、微波交调等物理手段，让两个比特的能量状态发生交叉和干涉；在结果上，就是抹杀了两个比特的独立人格，将其融合成一个由统一法则支配的量子整体。

### 双比特有 4 个态，岂不是有 4 个能级？

两个量子比特（双比特系统）确实有 4 个基态：$|00\rangle$、$|01\rangle$、$|10\rangle$、$|11\rangle$，这意味着系统拥有 4 个能级。但要注意：**能级对应的是 "能量"，而常说的频率对应的是能级之间的 "跃迁"**。

假设我们有两个独立的超导比特 $Q_1$ 和 $Q_2$，它们的单个跃迁频率分别是 $\omega_1$ 和 $\omega_2$。当把它们放在一起时，这 4 个能级的能量（理想情况下）是这样分布的：

- $|00\rangle$（基态）：两个比特都在地面，我们将这个状态的能量定义为零点（$E_{00}=0$）；
- $|01\rangle$：$Q_1$ 在地面，$Q_2$ 激发，能量为 $E_{01}=\hbar\omega_2$；
- $|10\rangle$：$Q_1$ 激发，$Q_2$ 在地面，能量为 $E_{10}=\hbar\omega_1$；
- $|11\rangle$：两个比特都在激发态，能量为 $E_{11}=\hbar\omega_1+\hbar\omega_2$。

$\hbar$ 是约化普朗克常数，它负责把 "频率" 翻译成 "能量"（$E=\hbar\omega$）。在物理学中，孤立的能级是无法直接测出频率的，我们平时说的 "频率" 指的是系统从一个能级跳到另一个能级时吸收或释放的微波频率。因为有 4 个能级，它们之间理论上存在 6 种可能的跃迁通道，但在实际实验中我们最关心的是以下四种单比特跃迁频率。

当两个比特之间存在物理耦合时，神奇的事情发生了：$Q_1$ 的跃迁频率会受到 $Q_2$ 当前处于什么状态的影响，此时频率分裂成了两组：

- **第一组（看 $Q_1$ 的跃迁）**：如果 $Q_2$ 在 $|0\rangle$ 状态，$Q_1$ 从 $|0\rangle$ 变到 $|1\rangle$（即系统从 $|00\rangle\to|10\rangle$），需要的微波频率是 $\omega_{10}$；如果 $Q_2$ 在 $|1\rangle$ 状态，$Q_1$ 从 $|0\rangle$ 变到 $|1\rangle$（即系统从 $|01\rangle\to|11\rangle$），需要的微波频率是 $\omega_{11}$。因为物理耦合，$\omega_{10}$ 和 $\omega_{11}$ 并不相等！它们之间相差一个非常关键的量，叫作 $\chi$（色散移位，Dispersive Shift）。
- **第二组（看 $Q_2$ 的跃迁）**：同理，当 $Q_1$ 处于 $|0\rangle$ 或 $|1\rangle$ 时，$Q_2$ 跃迁所需的微波频率也不同（分别是 $\omega_{01}$ 和 $\omega_{11}$）。

所以，双比特系统有 4 个能级，我们测出来的不是这 4 个能级本身的频率，而是这 4 个能级两两组合跃迁时所对应的多个不同微波频率。这些频率之间由于量子耦合产生的微小差异（通常在几 MHz 到几十 MHz 之间），正是我们用来操控量子比特、制造纠缠的 "物理杠杆"。

### 量子计算究竟是怎么实现的？

- **量子叠加** 使得可以同时表示：如果有 300 个经典计算机的传统比特，它在同一瞬间只能表示 $2^{300}$ 个可能数字中的其中一个；而 300 个完美的量子比特可以同一瞬间同时表示这 $2^{300}$ 个数字，这个数字比宇宙中的原子总数还要多。
- **量子纠缠** 就是两个或多个量子比特可以进入一种 "心灵感应" 的状态：一旦两个比特发生纠缠，无论它们距离多远，只要你测量其中一个的状态，另一个的状态就会瞬间确定。在计算中，纠缠将所有量子比特 "联结" 成一个整体，让计算能力随着比特数量的增加呈指数级暴涨。
- **量子相干与干涉**：既然量子计算是同时计算无数种可能，那最后测量时它会不会随机给你一个错误答案？答案是利用干涉。量子比特的状态是有 "相位"（可以理解为波峰和波谷）的。量子算法的设计目标，就是通过巧妙的操控让正确答案的波峰相互叠加变大，让错误答案的波峰和波谷相互抵消，最后测量时正确答案就会以接近 100% 的概率弹出来。

实际工程上，就是程序员在电脑上用 Python 编写量子算法，这些算法是由一系列量子门（如 Hadamard 门、CNOT 门）组成的逻辑电路。计算机把这些量子门转译成具体的物理控制信号：对于超导量子芯片，这些信号是特定频率、特定时长的微波脉冲（通常在几 GHz）。计算完成后，使用特殊的测量电路（如超导谐振腔）去 "看" 一眼量子比特，量子态瞬间塌缩成确定性的 0 或 1，输出给传统计算机。具体算什么、用什么算法、怎么算，可以看一下 Shor 算法或 Grover 算法。

### 纠错码是怎么纠错的？为什么有 d3、d5、d7 这几种？容错量子计算是怎么实现的？

我们用传统比特（经典纠错）来做个最直观的解释，然后再无缝切换到量子。

**经典纠错：少数服从多数**。假设你要发送一个比特的信息：`0` 或 `1`。如果直接发出去，路上只要有一丁点噪声干扰，`0` 变成 `1`，接收方就彻底被骗了。为了解决这个问题，最简单的纠错码叫三重复码（Repetition Code）：我们规定不再单发一个比特，而是把 `0` 编码成 `000`、把 `1` 编码成 `111`。接收方收到数据后进行少数服从多数的表决（Majority Vote）：

- 情况 A：路上有一点噪声把第二个比特翻转了，接收方收到 `010`，表决结果两个 0 一个 1，所以原始信息肯定是 `0`（成功纠错 1 个错误）；
- 情况 B：噪声太恐怖了，把前两个比特都翻转了，接收方收到 `110`，表决结果两个 1 一个 0，接收方会误判原始信息是 `1`（纠错失败）。

量子的世界更诡异，因为根据量子力学，你不能直接去看（测量）量子比特的状态，一看叠加态就塌缩了。那怎么知道哪个比特翻转了？科学家设计了极其精妙的联合测量（Syndrome Measurement，残差测量）：比如有三个超导比特纠缠在一起，我们不测量单个比特是 0 还是 1，而是用微波脉冲去测量 "第 1 个和第 2 个比特的状态是否相同" 以及 "第 2 个和第 3 个比特的状态是否相同"。如果得到的答案是（相同，不相同），这就说明第 3 个比特肯定偷偷翻转了！整个过程中，我们只知道了 "谁和谁不一样"（这叫错误图谱），但完全没有窥探比特本身编码的量子机密。最后，我们针对性地用一个微波脉冲把第 3 个比特翻转回来，完美复原！

**为什么有 $d=3, d=5, d=7$ 这几种？** 这里的 $d$ 在数学上叫做码距（Code Distance）。为什么数字必须是 3、5、7 这样的奇数？因为纠错的核心公式是：

$$\text{能纠正的错误个数 } t = \frac{d - 1}{2}$$

$d=7$ 可以扛住同时发生 3 个比特翻转的超级大噪声，$d=3$ 只能抗住 1 个。为什么没有 $d=4$？因为当路上一旦同时翻转了 2 个比特，接收方会收到 `1100`，这时候两个 1、两个 0 刚好平手，接收方能发现出错了，但是根本无法判定到底该往哪边修正。

在当下的超导量子计算中（比如谷歌的 Sycamore 芯片或 IBM 的芯片），大家天天挂在嘴边的 "表面码（Surface Code）" 就是按照 $d=3, d=5, d=7$ 来排列硬件的。表面码有两种不同的主流设计方案：

- **方案一：只看 "数据比特"**。在最初、最纯粹的数学定义里，我们只计算用来真正存储和编织量子信息的数据比特。对于一个正方形的拓扑表面码，如果它的码距是 $d$，那么它所需要的数据比特数量就是：

$$\text{数据比特数} = d^2$$

当 $d=3$ 时，需要 $3\times3=\mathbf{9}$ 个数据比特；当 $d=7$ 时，需要 $7\times7=\mathbf{49}$ 个数据比特。

- **方案二：全盘全计（广义的芯片物理比特数）**。但在实际的超导芯片硬件上，光有数据比特是不够的，因为正如我们前面所说，我们不能直接测量数据比特，必须在每两个或四个数据比特之间塞进去一个专职干脏活的 "辅助比特（Ancilla Qubit / Measure Qubit）"，通过它们去间接测量错误图谱。在最标准的正方形表面码拓扑结构（旋转表面码，Rotated Surface Code）中，为了测出所有的数据翻转和相位翻转，需要的辅助比特数量是 $d^2-1$ 个。这时候，芯片上为了维护这一个逻辑比特，所需要的总物理比特数（数据 + 辅助）为：

$$\text{总物理比特数} = d^2 + (d^2 - 1) = 2d^2 - 1$$

当 $d=7$ 时：$2\times(7^2)-1=98-1=\mathbf{97}$ 个总比特；当 $d=3$ 时：$2\times(3^2)-1=18-1=\mathbf{17}$ 个总比特。在实际工程汇报中，工业界（比如谷歌宣称实现 $d=7$ 纠错时）往往更倾向于使用 d7 = 97 个物理比特。

### 人类的观察改变了量子本身的行为，那么这边的观察究竟是怎么样的观察？

观察的本质，是一次 "无法避免的物理碰撞"。在量子世界里，量子比特（比如超导电路里的一个微弱电流状态）太小、太脆弱了。你想去 "看" 它，你就必须和它发生物理接触。

在超导量子计算机里，这个 "看" 的过程是这样实现的：芯片上每个超导比特的旁边都紧挨着刻有一根弯弯曲曲的导线，叫做 "读出谐振腔"。开始观察（测量）时，控制柜会发射一束很强的、特定频率的微波脉冲送进这根谐振腔，这束微波在谐振腔里激荡，它的电磁场会和旁边的超导量子比特发生极强的电磁相互作用。比特如果是 $|0\rangle$ 态，它对这束微波的反弹方式是一种样子；如果是 $|1\rangle$ 态，反弹方式则是另一种样子。微波带着这个反弹的信号飞出芯片，被室温下的电子仪器放大解码。

这束微波的能量和外界的噪声一样，相对于娇贵的叠加态来说太粗暴了。在测量脉冲打入之前，比特还处于 $\frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt{2}}$ 的叠加态；当这束高强度的测量微波轰击过来时，它和比特之间瞬间发生了剧烈的退相干，比特被迫与谐振腔里的无数个光子发生纠缠，它原本在布洛赫球赤道面上优雅旋转的 "量子相位信息" 瞬间被彻底冲刷、抹平。在这个巨大的物理冲击下，比特无法再保持两边讨好的叠加姿态，只能被迫随机选择一个方向站队——要么彻底跌落到南极（$|0\rangle$），要么彻底跳到北极（$|1\rangle$），这就是所谓的 "波函数塌缩"。

**如果没人看，放在那算 "观察" 吗？会，它依然会 100% 塌缩。** 只要测量微波脉冲打中了比特，微观的量子态就已经被宏观的电路（谐振腔、放大器、线缆）给 "污染" 了，大自然已经完成了这次物理碰撞，信息已经泄漏到了宏观世界。至于人类的意识有没有接收到这个信息，根本不影响物理结果。甚至可以说，环境噪声就是一种大自然对量子的 "偷看"。

所以，量子力学里的 "观察"：不是人类用眼睛看，或者用意识去感应（不是意识决定论），而是 **用一个宏观的探测物理系统（如微波束、激光束）去强行碰撞微观系统，并提取信息的过程**（是粗暴的物理干涉）。

### 几层几层的量子线路是什么？"几层" 是什么意思？

一个随机量子线路（Random Quantum Circuit）通常是由许多个量子门排列组合而成的。为了让芯片高效且整齐地运行，科学家把这些门像切切糕一样切成了一段一段的时间片，这就是 "层（Layer）"。在超导量子芯片中，标准的一层通常包含以下两个连贯的动作：

- **单比特门阶段**：芯片上所有的量子比特同时执行各自随机的单比特门（比如转动 90°），这个动作极快，几十个比特一起做，互不干扰；
- **双比特门阶段**：紧接着，比特之间按照特定的物理图案（Pattern）两两配对，同时执行双比特门（比如 CZ 门或 iSWAP 门）来产生纠缠。

这 "一动（单比特门）+ 一缠（双比特门）" 的组合，在物理上就被定义为一层（1 Layer）。

**层数决定了纠缠的 "广度" 与 "深度"**。超导芯片上的比特通常是网格状排布的，一个比特只能和它前后左右邻近的比特做双比特门。第 1 层：比特 A 只能和挨着它的比特 B 发生纠缠；第 2 层：比特 B 又和另一侧的比特 C 发生纠缠，此时 A 的信息通过 B 传给了 C（A 和 C 间接纠缠了）。层数越多，意味着芯片上所有比特的命运被编织得越紧密。到了 20 层的时候，芯片上几十个比特已经融合成了一个极其庞大、根本无法在数学上进行因式分解的超级纠缠态。

**层数决定了经典超级计算机的 "绝望程度"**。谷歌和祖冲之号做的是 "随机线路采样" 任务，经典计算机想要模拟这个任务，需要追踪这 20 层里每一步的所有可能性。如果只有 5 层，经典电脑一秒钟就模拟完了；到了 14 层、16 层，经典超级计算机需要开足马力算几天；当达到 20 层（配合 50–60 个比特）时，经典超级计算机就算用上全地球最顶级的超算集群（比如 Frontier 或富岳）也要算上万年，这时量子优越性就实现了。

**层数还决定了芯片的 "体能" 要求**。量子比特是有寿命的（超导比特通常只有几十到几百微秒），每多往前走一层，就需要消耗几百纳秒的时间，同时：

$$\text{整条线路的总保真度} \approx (\text{单个门保真度})^{\text{总门数}}$$

在 20 层的线路里可能包含了上百个单比特门和几百个双比特门，如果你的双比特门保真度只有 99%，几百个门乘下来，总保真度直接归零。论文里的 "实现了 20 层量子线路"，潜台词其实是在向全世界秀肌肉："我的芯片不仅比特数量多，而且比特寿命足够长、门的精度足够高，高到可以让这几十个比特在经历了 20 轮连续不断的微波轰炸和剧烈纠缠后，依然没有'退相干死亡'，还能吐出正确的量子计算结果。"

### Shor 算法是什么？

Shor 算法（秀尔算法）由数学家彼得·秀尔（Peter Shor）于 1994 年提出，是量子计算史上里程碑式的发现。因为著名的 RSA 加密算法（保护着我们现在的银行、网络通信和军事机密）的底层安全基石，就是 **相信传统计算机无法在有效时间内破解大数的质因数分解**。

其核心逻辑是一个令人拍案叫绝的跨界结合：**将一个 "纯数学的数论问题"，转换成一个 "物理上的波干涉问题"**。如果直接让量子计算机去盲猜因数，它也快不了。彼得·秀尔最伟大的贡献，是利用数论里的一个奇妙定理（欧拉定理的变体），把分解大数 $N$ 的问题转化成了 **寻找一个函数的周期**。

假设我们要分解大数 $N$：随便猜一个比 $N$ 小的数字 $a$，构造一个函数 $f(x) = a^x \pmod N$（也就是计算 $a$ 的 $x$ 次方，再除以 $N$ 算余数）。数学大师们发现，这个余数函数 $f(x)$ 随着 $x$ 的增加，**一定会呈现完美的周期性重复**。

举个简单的例子：假设我们要分解 $N=15$，我们瞎猜一个 $a=7$：

- $x=1$：$7^1 \pmod{15} = \mathbf{7}$
- $x=2$：$7^2 = 49 \pmod{15} = \mathbf{4}$
- $x=3$：$7^3 = 343 \pmod{15} = \mathbf{13}$
- $x=4$：$7^4 = 2401 \pmod{15} = \mathbf{1}$
- $x=5$：$7^5 \pmod{15} = \mathbf{7}$（开始重复了！）
- $x=6$：$7^6 \pmod{15} = \mathbf{4}$

它的余数轨迹是 `7, 4, 13, 1 | 7, 4, 13, 1 | 7, 4...`，**周期（记为 $r$）就是 4**。只要找到了周期 $r$，在数学上就可以通过简单的公式 $\gcd(a^{r/2} \pm 1, N)$（求最大公约数，传统计算机算这个极快）直接秒杀算出 $15$ 的因数是 $3$ 和 $5$。

当 $N$ 是一个几百位的超级大数时，这个周期的重复长度可能长达 $2^{2048}$，传统计算机只能一个一个 $x$ 去算，算到宇宙毁灭也找不出这个周期。现在，寻找周期 $r$ 的历史重任交给了量子计算机，接下来的事情分为四个极具科幻感的物理步骤：

1. **量子并行：把所有可能性 "一网打尽"**。超导量子计算机施加一排微波脉冲（Hadamard 门），让一排量子比特瞬间进入叠加态。它不是一个一个去试 $x$，而是在一瞬间把所有的 $x$（从 1 到几万亿）同时输入到量子芯片里。此时芯片内部的量子状态里同时包含了无数个 $(x, f(x))$ 的配对。
2. **制造波的交织**。由于所有可能的 $x$ 都在同时运算，这些带有余数 $f(x)$ 的量子态在芯片里就像无数道在水面上同时扩散的涟漪（波函数）。既然余数是有周期性的，那么这些量子波的波峰和波谷也天然地带有某种空间的周期性排布。
3. **核心大招：量子傅里叶变换（QFT）**。这是整个算法的灵魂。既然有波就有频率，**函数的周期 $r$ 在物理上就对应着这道波的频率**。量子计算机会施加一组精心设计的微波脉冲组合执行量子傅里叶变换（QFT）。QFT 的本质就是一个超级光学棱镜或者消音耳机：那些不符合周期规律的杂乱量子态（错误答案）在脉冲引导下发生 **相消干涉（波峰对波谷）**，概率相互抵消、归零；而完美契合真实周期 $r$ 的那个特定频率的量子态（正确答案）发生 **相长干涉（波峰对波峰）**，信号被无限放大。
4. **测量塌缩**。当 QFT 结束的一瞬间，整个量子芯片里其他错误的噪点全部被 "消音" 了，只剩下一个高耸的波峰——那个代表周期频率的量子态。这时候实验人员拉开闸门进行测量（Measurement），量子态塌缩，正确的频率（进而算出周期 $r$）以接近 100% 的概率弹到电脑屏幕上。

**现在在超导量子计算机上实现 Shor 算法了吗？** 目前的超导量子计算机确实已经可以运行 Shor 算法的代码和微波脉冲，但它面临一个极其尴尬的现状——"15" 是目前真正不作弊、纯粹使用 Shor 算法成功分解的极少数数字之一；而想要分解破解密码所需要的大数，中间还差着一条难以逾越的鸿沟。

2001 年科学家就用量子计算机分解了 15（$15=3\times5$），那现在都 2026 年了，分解个 21（$21=3\times7$）或者 35 应该易如反掌吧？然而事实很残酷：纯粹、完整的标准 Shor 算法在硬件上要分解 21，其难度和成本比分解 15 暴涨了 100 倍以上。分解 15 的时候，由于数学上的极度巧合，算法中绝大多数乘法步骤都变成了 "乘以 1"，量子芯片可以疯狂 "偷懒"，最终只用了 20 几个量子门就搞定了；但到了 21，这些数学巧合消失了，要在硬件上规规矩矩地跑完电路，需要耗费上千个高精度的双量子比特门（如 CNOT 门）。在目前的超导芯片上，微波脉冲连续打几千次，量子比特早就因为环境噪声（纯去相位 $T_2^*$ 和纵向弛豫 $T_1$）而死在半路了，根本撑不到最后干涉出正确答案。

**我们离 "破解 RSA 加密" 还有多远？** 目前的银行、网络通信使用的加密算法是 **RSA-2048**，要破解它需要分解一个大约 617 位的十进制超级大数。要用超导量子计算机彻底攻克它，需要两个指标：理想状态（无噪声）需要大约 4000 个完美的逻辑量子比特；为了消灭噪声，我们需要用几千个物理比特通过微波控制联合起来才能 "熔炼" 出 1 个完美的逻辑比特。最终硬件需求：科学家测算过，真正跑起 Shor 算法撕开 RSA-2048 防线，需要 **数百万个甚至上千万个物理超导量子比特**。

## 芯片指标

### dBm 是什么？NSD 是什么？为什么是负的？

**dBm 是什么？** dBm（分贝毫瓦）是表示 **绝对功率** 的对数单位，基准参照值是 1 毫瓦（1 mW），其计算公式为：

$$P_{\text{dBm}} = 10 \log_{10} \left( \frac{P_{\text{mW}}}{1 \text{ mW}} \right)$$

0 dBm 表示功率刚好等于 1 mW。大功率：例如 $+30\text{ dBm}=1000\text{ mW}=1\text{ W}$；微小功率：例如 $-30\text{ dBm}=0.001\text{ mW}=1\mu\text{W}$。采用 dBm 的主要原因是信号功率的跨度极大（从皮瓦级到瓦级），使用对数单位可以把相乘计算简化为加减法，且更容易记录极小的数据。

**NSD 是什么？** NSD（Noise Spectral Density，噪声谱密度）表示在单位带宽（通常为 1 Hz）内分布的噪声功率。在波形芯片中，NSD 的常用单位是 dBm/Hz（或相对于信号满量程的 dBFS/Hz）。作用：芯片工作时由于热运动和电路内部噪声，全频段都有底噪，NSD 告诉你把这些噪声分摊到每一个 1 Hz 宽度的频带上时到底有多少噪声能量。优势：NSD 不受测量采样率或 FFT 采样点数（Bins）的影响，能够客观反映芯片本身的噪声底限性能。

**为什么数值经常是负的？** 负数的出现并不是代表 "功率是负的"（物理功率不可能为负），而是数学对数运算和参照基准决定的：当实际功率（$P$）小于参照基准（1 mW）时，$\frac{P}{1\text{ mW}}<1$，取对数 $\log_{10}(<1)$ 就会得到负数。只要信号功率小于 1 mW，以 dBm 表示的数值就一定是负的。

**NSD（dBm/Hz）为什么是极大的负数？** 物理学上的热噪声极限（室温 290K 下）为 $k_B T \approx -174\text{ dBm/Hz}$，这意味着在 1 Hz 的带宽里，物理热噪声功率仅有 $10^{-17.4}$ mW（约 0.00000000000000004 mW）。芯片本身的电路还会额外引入噪声，因此实际芯片的 NSD 通常在 $-140\text{ dBm/Hz}$ 到 $-165\text{ dBm/Hz}$ 之间。负得越多（绝对值越大，如 -160 比 -140 更小），说明芯片的底噪越低、性能越好。

### 带宽究竟是什么？为什么单位是频率？和数据率有什么关系？

**带宽（Bandwidth）** 在信号处理和芯片领域，本质上是指能够有效传输或处理的信号 "频率范围的大小"。因为它测量的是一个频率区间（最高频率与最低频率的差值），所以它的单位也是频率单位——Hz（赫兹）、kHz 或 MHz。

**为什么带宽的单位是 MHz？** 要理解这一点，可以把信号想象成声音：人耳能听到的频率区间是 20 Hz 到 20,000 Hz，这个 "有效区间" 的宽度就是 $\text{带宽}=20,000\text{ Hz}-20\text{ Hz}=19,980\text{ Hz}\approx20\text{ kHz}$。同理，对于芯片或系统，$\text{带宽 }(B)=f_{\text{high}}-f_{\text{low}}$，两个频率（MHz）相减，得到的结果单位自然依然是 MHz。

为了不把 "带宽" 和日常网速中的 "Mbps/Gbps" 搞混，可以用公路来比喻：频率（Frequency）代表车在路上的行驶速度；信号带宽（Bandwidth, MHz）代表马路的宽度（有几条车道）；数据传输速率（Data Rate, Mbps）代表单位时间内实际通过的车流量。公路越宽（带宽 MHz 越大），能够同时容纳的车流量（数据量 Mbps）就越高。

在波形芯片或无线通信中，带宽（MHz）决定了你一次能传输多少信息，由香农公式（Shannon's Law）决定：

$$\text{最大数据速率} \approx \text{带宽 (MHz)} \times \log_2(1 + \text{信噪比})$$

这个公式表明带宽直接线性决定了传输数据的上限，带宽增加一倍，数据传输能力就翻倍。

**为什么有时网络带宽单位是 Mbps？** 信号/硬件层（物理带宽）用 MHz，指电路能处理的电信号频率范围；数字/网络层（数据带宽）用 Mbps（兆比特每秒），指的是通过这个物理管道后每秒钟实际传输了多少二进制数据（0 和 1）。

### 数据率和采样率和分辨率的区别和联系？

- **数据率 bps**：全称 bits per second（比特每秒），指的是一秒钟内传输或处理了多少个二进制位（0 和 1）。100 bps 表示一秒钟传输 100 个 0 或 1；Kbps = $10^3$ bps（千比特每秒）。
- **采样率（SPS，Samples per Second）**：表示芯片一秒钟对连续信号取样了多少次（衡量时间分辨率）。
- **分辨率/量化位数（Bits）**：表示每一个采样点用多少位 0/1 数字化代码来记录（衡量幅度精度）。

三者之间的联系（核心计算公式）：采样点（SPS）、采样精度（Bits）和数据速率（bps）之间有一个非常直接的推导关系：

$$\text{数据速率 (bps)} = \text{采样率 (SPS)} \times \text{每个采样点的位数 (Bits/Sample)}$$

假设你有一个音频 ADC 芯片：采样率 $44.1\text{ kHz}=44,100$ Samples/s（一秒抓取 44,100 个采样点），采样精度 $16$ bits（每一个采样点用一个 16 位二进制数表示），则数据速率（bps）为：

$$44,100\text{ SPS} \times 16\text{ Bits/Sample} = 705,600\text{ bps} = 705.6\text{ Kbps}$$

| **指标**     | **英文简称**        | **单位示例**   | **含义（比喻）**                         |
| ------------ | ------------------- | -------------- | ---------------------------------------- |
| **采样率**   | **SPS** (Samples/s) | MSPS / GSPS    | 一秒钟采了多少个点                       |
| **分辨率**   | **Bits**            | 8-bit / 16-bit | 每一个点的所需的表示位数，位数越大越精细 |
| **数据速率** | **bps** (Bits/s)    | Mbps / Gbps    | 每秒产生的总数据量的大小                 |

### 功率稳定性是什么？其中单位 ppm 是什么？

**功率稳定性（Power Stability）** 是指波形芯片或电源等设备，在长时间工作或环境发生变化（如温度波动、电压抖动、器件老化）时，其输出功率保持恒定不变的能力。如果设置芯片输出功率为 100 mW，在工作 8 小时后，实际输出是维持在 100 mW 附近极微小地波动，还是慢慢漂移到了 95 mW 或 105 mW？这种抵御漂移的能力就是功率稳定性。

主要影响因素有：

- **温度漂移**：环境或芯片发热导致内部电路参数变化（最主要的因素）；
- **时间漂移（老化）**：设备连续工作几十或几百小时后的自然衰减；
- **电源波动**：供电电压不稳定导致的输出功率起伏。

**单位 ppm 是什么？** ppm 全称 Parts Per Million，即百万分之一（$10^{-6}$）。它是一个相对变化量的比例单位，用来表示极小的变化或误差，类似于百分比（$\%$，百分之一），但精度比百分比高得多。$1\%\ (\text{百分之一})=10,000\text{ ppm}$；$0.1\%\ (\text{千分之一})=1,000\text{ ppm}$。

**为什么不用 $\%$ 而用 ppm？** 在波形芯片、高精度射频源或基准源中，性能要求极高，功率漂移通常只有百分之零点零零几。如果用百分比表示，写出来会是 $0.005\%$，不仅零太多容易看错，也不直观；而换算成 50 ppm 就非常清晰。

**ppm 如何计算功率变化？**

$$\text{功率变化量} = \text{标称功率} \times \left( \frac{\text{ppm 数值}}{1,000,000} \right)$$

ppm 的数值越小，代表芯片的功率稳定性越强、抗干扰能力越好。

### 相位噪声是什么？为什么是 -dBc/Hz？

相位噪声反映了信号频率的不稳定程度，即信号相位的随机抖动，是评估信号源（如振荡器、频率合成器、波形芯片 PLL/CLK）信号纯净度的核心指标。

理想情况下，一个波形芯片输出的正弦波信号在频域上应该是一根无限细的 "针"（单一频率 $f_0$，没有宽度）。但现实中，由于芯片内部热噪声、闪烁噪声（1/f 噪声）等的影响，信号的相位会发生极微小的随机相位偏移（Phase Jitter），在频谱图上看，这根理想的 "针" 底部会向两边张开，形成一个像 "裙摆" 一样的噪声能量分布（称为边带噪声）。相位噪声测量的就是这个 "裙摆" 有多大——也就是在距离中心频率（载波 $f_0$）偏移一定距离（如 10 kHz 或 1 MHz）的地方，噪声能量相对于中心信号能量的大小。

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**为什么单位是 -dBc/Hz？** 这个单位可以拆分为三个部分来理解：dB + c + /Hz。

- `dBc` 中的 `c` 意为 relative to Carrier（相对于载波功率），它不是一个绝对功率（比如 dBm），而是一个相对比例：

$$\text{单边带相位噪声 } \mathcal{L}(\Delta f) = 10 \log_{10} \left( \frac{\text{偏离载波 } \Delta f \text{ 处，1 Hz 带宽内的噪声功率 } P_{\text{noise}}}{\text{中心载波的总功率 } P_{\text{carrier}}} \right)$$

测量的是 "噪声功率是载波功率的几分之几"。

- `/Hz` 代表归一化到 1 Hz 带宽。频谱仪在测量噪声时测得的是某个测量带宽（Resolution Bandwidth, RBW）内的总功率，为了公平比较不同芯片或系统，必须把噪声功率除以测量带宽，归一化到 1 Hz 宽度的基准上。

**为什么是负数（-dB）？** 因为噪声功率远小于中心载波功率（$P_{\text{noise}} \ll P_{\text{carrier}}$）。假设在偏离中心频率 10 kHz 处，1 Hz 带宽内的噪声功率只有载波功率的一百万分之一（$10^{-6}$）：

$$10 \log_{10}(10^{-6}) = -60\text{ dBc/Hz}$$

由于噪声比载波小得多，做对数运算后自然就得到了负数。某芯片在偏移 100 kHz 处的相位噪声为 $-120\text{ dBc/Hz}$，含义是：在距离中心频点 100 kHz 的位置，取 1 Hz 带宽的微小频段，里面的噪声功率比主载波信号功率低了 120 dB（即只有载波的万亿分之一）。负得越多（绝对值越大），说明噪声裙摆越低，信号越纯净，芯片的性能越好。

### dB 到底是 ×10 还是 ×20？换算公式？

分贝（dB）本质上是对功率比例取对数，你只需要看你拿来比较的物理量是功率还是幅度：

| 测量对象类型       | 代表物理量                       | 前面乘的系数 | 换算公式                                                     |
| ------------------ | -------------------------------- | ------------ | ------------------------------------------------------------ |
| 功率型 (Power)     | 能量、功率 ($P$)                 | 10           | $\text{dB} = \mathbf{10} \cdot \log_{10} \left( \frac{P}{P_0} \right)$ |
| 幅度型 (Amplitude) | 电压 ($V$)、电流 ($I$)、光场幅度 | 20           | $\text{dB} = \mathbf{20} \cdot \log_{10} \left( \frac{V}{V_0} \right)$ |

**为什么幅度型要乘 20？** 物理学中，功率和电压/电流的平方成正比（$P=\frac{V^2}{R}$）。把平方项放到对数公式里，根据对数性质，平方的指数 2 会直接提到前面去：

$$10 \cdot \log_{10}\left(\frac{V^2}{V_0^2}\right) = 10 \cdot \mathbf{2} \cdot \log_{10}\left(\frac{V}{V_0}\right) = \mathbf{20} \cdot \log_{10}\left(\frac{V}{V_0}\right)$$

**秒记口诀**：功率自带能量乘 10，幅度自带平方乘 20。

**幅度/电压型（20 lg）速算**：幅度型 20 dB 怎么算呢？$10^{(\text{dB数}/20)}$ 倍数换算公式，发现就是 10 倍。6 dB 呢？10 的 3/10 次方 = 1.995，约等于 2，就是 2 倍。在 dB 上的 + 或 − 映射的是倍数关系：+6 dB = 翻两倍，+20 dB = 翻 10 倍。

### SFDR 是什么？

SFDR（Spurious-Free Dynamic Range，无杂散动态范围）是数据转换器（ADC/DAC）核心指标之一，衡量的是在频谱图中，最高的目标信号功率与最高的干扰杂散（Spur）功率之间的相对比值。

它的计算公式分为两种形式：

- ① 用绝对功率（dBm）或幅度（dBFS）直接相减（工程中最常用）：

$$\text{SFDR (dB)} = P_{\text{signal}} - P_{\text{spur}}$$

$P_{\text{signal}}$：目标信号（基波）的功率（单位：dBm 或 dBFS）；$P_{\text{spur}}$：在全频带内最大的那根杂散/谐波的功率（单位：dBm 或 dBFS）。

- ② 用线性功率的比值计算（标准对数公式）：

$$\text{SFDR (dB)} = 10 \log_{10} \left( \frac{P_{\text{signal, linear}}}{P_{\text{spur, linear}}} \right)$$

如果使用的是电压/幅度值（$V$），由于幅度自带平方，系数则乘 20：

$$\text{SFDR (dB)} = 20 \log_{10} \left( \frac{V_{\text{signal}}}{V_{\text{spur}}} \right)$$

**为什么 SFDR 是正的？** 因为分子是你想要的主信号功率（通常很强），分母是伴随出现的最大杂散/谐波功率（通常很弱），信号能量远远大于杂散能量。比如主信号功率 $P_{\text{signal}}=-5\text{ dBm}$，最大杂散功率 $P_{\text{spur}}=-85\text{ dBm}$，则：

$$\text{SFDR} = (-5\text{ dBm}) - (-85\text{ dBm}) = \mathbf{+80\text{ dB}}$$

SFDR 数值越大越好（正得越多越好）。80 dB 的 SFDR 说明杂散只有主信号的百兆分之一（$10^{-8}$），意味着芯片输出的信号非常干净、干扰极小。

### 通道内初始相位差是什么？

在多通道波形芯片、模数转换系统（多路 ADC/DAC）或 MIMO 无线通信系统中，通道内初始相位差（In-channel / Inter-channel Initial Phase Difference）是一个非常关键的物理参数，它是指：当多个通道同时接收或发射同一个频率的理想信号时，在没有任何外部延时补偿的 "初始状态" 下，各个通道之间信号相位的固有不一致量。

**为什么会有 "初始相位差"？** 理想状态下，如果你给芯片的通道 A 和通道 B 输入完全相同的正弦波信号，两路输出的波形应该完全重合（相位差为 0°）。但在实际硬件设计和芯片内部，信号经过的物理路径不可能绝对对称，比如芯片内部电路微小差异或芯片外部 PCB 板布线走线不等长等等，就会出现每个通道相位不等的情况。

在单通道系统中，初始相位影响不大；但在多通道协同工作的场景下，初始相位差是致命的。多路 ADC/DAC 同步采样会导致不同通道采集到的数据在时间轴上 "对不上"，破坏空间复用或波形合成，最终导致采样不同步。

### DAC 的位数为啥有小数？还有什么有效位是怎么算的？

DAC（数模转换器）的 "位数" 出现小数，通常是指 ENOB（Effective Number of Bits，有效位数）。我们在芯片规格书上看到的 "16-bit DAC"，指的是它的标称物理位数（Architecture Bits），代表硬件上有 16 位的数字寄存器，理论上能输出 $2^{16}=65,536$ 个不同的电压等级。但在实际工作中，由于芯片内部存在噪声、失真、非线性等缺陷，一个 16 位的 DAC 实际输出的信号质量，可能只相当于一个 "完美无噪声的 14.3 位 DAC"，这个 14.3 就是它的有效位数（ENOB）。

**为啥位数会算出小数？** 因为 ENOB 不是通过数硬件电路结构（比如数有几个电阻或开关）数出来的，而是通过测量信号的质量（信噪比），用数学公式倒推计算出来的。

计算 ENOB 的核心逻辑是：把你测得的 "实际动态性能" 对比 "理想 DAC 的理论极限"。

- **第一步：理解理想 DAC 的理论信噪比（SNR）**。对于一个完美的 N 位理想 DAC/ADC，只考虑它固有的量化噪声时，其理论极限信噪比公式为：

$$\text{SNR}_{\text{ideal}} = 6.02 \times N + 1.76 \text{ (dB)}$$

$6.02$ 的来源：$20\log_{10}(2)\approx6.02$，意味着每增加 1 位（bit）分辨率，信号质量提升约 6 dB（幅度翻倍）；$1.76$ 的来源：正弦波信号功率与理想均匀量化噪声功率的比值推导出的常数项。

- **第二步：测量实际 DAC 的 SINAD（信纳比）**。在实验室中，给待测 DAC 输入一个满量程的正弦波，用高精度频谱仪测量其输出，测出 SINAD（Signal-to-Noise-and-Distortion Ratio，信号与噪声及失真比）。SINAD 不仅包含了热噪声，还把芯片产生的谐波失真（THD）、杂散（SFDR）全算进去了，反映了真正的综合信号质量。
- **第三步：倒推算出 ENOB**。把第一步的理论公式反过来，用实际测得的 SINAD 替换理想的 $\text{SNR}_{\text{ideal}}$：

$$\text{SINAD} = 6.02 \times \text{ENOB} + 1.76$$

解方程导出 ENOB 计算公式：

$$\mathbf{\text{ENOB} = \frac{\text{SINAD (dB)} - 1.76}{6.02}}$$

ENOB 越高越好（越接近物理标称位数，说明芯片做工越好、底噪和失真越小）。通常高频/高速 DAC 的 ENOB 缩水比较明显（比如 16-bit 10GSPS DAC 的 ENOB 可能只有 10~11 位）；而低速高精度 DAC 的 ENOB 会非常接近标称位数。

### 1/f 噪声是怎么衡量？为什么用 $T_{\varphi2}$ 衡量？

1/f 噪声（又称闪烁噪声/粉红噪声，Flicker Noise）是一种功率谱密度（PSD）与频率 $f$ 成反比的低频噪声：

$$S(f) = \frac{A}{\vert f\vert^\alpha} \quad (\alpha \approx 1)$$

对于量子测控芯片来说：低频 1/f 噪声会导致量子比特的能级结构（0 和 1 之间的频率差 $\omega_{01}$）发生随机漂移，导致量子相干性丢失。因此，量子领域是用时间尺度（微秒 $\mu$ s 或毫秒 ms）来间接衡量 1/f 噪声强度的——去相干时间越短，说明 1/f 噪声越严重。

在量子比特或精密磁共振中，总的去相干时间称为 $T_2$（Ramsey 测量得到的时间），它由两部分共同决定：

$$\frac{1}{T_2} = \frac{1}{2 T_1} + \frac{1}{T_\phi}$$

- $T_1$（能量弛豫时间）：量子比特从高能级 $\vert 1\rangle$ 跌落回低能级 $\vert 0\rangle$ 的时间（类似于功率衰减）；
- $T_\phi$ 或 $T_{\varphi 2}$（纯去相干时间 / Pure Dephasing Time）：这就是用来专门衡量 1/f 噪声的核心指标！它只关注相位漂移，不涉及能量丢失。在物理上，$T_{\varphi 2}$ 与 1/f 噪声强度之间存在直接的数学映射。

